背景
美国运筹学家Sasty于20世纪70年代初提出层次分析法AHP(Analytic Hierarchy Process)
AHP:一种定量与特性相结合的、系统化、层次化的分析法。
深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层(目标-准则/指标-方案/对象),上层受下层影响,而层内各因素基本上相对独立。
建立层次分析结构模型的步骤
step1: 将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C,方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系用相连的直线表示。
step2: 构造成对比较阵,用成对比较阵法和1-9尺度,构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。
例子: 选择旅游地
目标层: O选择旅游地
准则层: C1景色,C2费用,C3居住,C4饮食,C5旅途
方案层: P1桂林,P2黄山,P3北戴河
接下来每个方案对每个准则进行评判。
成对比较阵的元素: 元素之间两两对比,采用相对比较尺度。
相对比较尺度 是由Sasty等人提出1-9尺度取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9。
定性到定量的转化
尺度 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
---|---|
的重要性 | 相同 稍强 强 明显强 绝对强 … |
如果因素Ci与Cj对目标影响相同,则尺度定义为1。
准则层对目标层的成对比较阵
利用相对比较尺度,比较各准则对目标的重要性。设矩阵。在这个例子里,A是5x5矩阵。
同理可得方案层对准则层各因素的成对比较阵。3x3矩阵。
层次分析法求解步骤
数学表达式
- 第2层对第1层的权重向量为:
- 第3层对第2层的权重向量为:
构造矩阵
则第3层对底1层的组合权向量 - 第s层对第1层的权重向量为:
其中是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵。
计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量,作一致性检验,若通过,则特征向量为权重向量。
成对比较阵完全一致的情况:
元素满足的正反阵A称一致阵。
一致阵性质:
① A的秩为1,A的唯一非零特征根为n;
② A的任一列向量是对应于n的特征向量;
③ A的归一化特征向量可作为权向量。
成对比较阵不一致的情况:
对于实际问题中不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A,我们可用对应于最大特征根的特征向量作为权向量,
组合权向量(作组合一致性检验)
将多层的权向量组合可作为决策的定量依据。
一致性检验
已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n;
结论:n阶正互反阵最大特征根,且时为一致阵
一致性指标:,CI越大,不一致越严重。
由于CI的大小受到矩阵规模的影响,所以加入了随机一致性指标RI,随机模拟得到形成A,多次计算CI得到RI来修正。
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
---|---|---|---|---|---|---|
RI | 0 | 0 | 0.58 | 0.90 | 1.12 | … |
定义一致性比率:
当CR<0.1时,通过一致性检验。
示例
**组合权向量:**第三层对第二层的计算结果
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
---|---|---|---|---|---|
0.595 0.277 0.129 |
0.082 0.236 0.682 |
0.429 0.429 0.142 |
0.633 0.193 0.175 |
0.166 0.166 0.668 |
|
3.005 | 3.002 | 3.0 | 3.009 | 3.0 | |
0.003 | 0.001 | 0.0 | 0.005 | 0.0 |
其中第二层对第一层的计算结果为
均可通过一致性检验。
方案对目标的组合权重为0.595x0.263+…=0.300
方案层对目标的组合权重向量为
可以得到第三个方案最优。
参考自华中农业大学数学建模课程