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层次分析法介绍

背景

美国运筹学家Sasty于20世纪70年代初提出层次分析法AHP(Analytic Hierarchy Process)
AHP:一种定量与特性相结合的、系统化、层次化的分析法。

深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层(目标-准则/指标-方案/对象),上层受下层影响,而层内各因素基本上相对独立。

建立层次分析结构模型的步骤

step1: 将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C,方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系用相连的直线表示。
step2: 构造成对比较阵,用成对比较阵法和1-9尺度,构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。

例子: 选择旅游地
目标层: O选择旅游地
准则层: C1景色,C2费用,C3居住,C4饮食,C5旅途
方案层: P1桂林,P2黄山,P3北戴河

接下来每个方案对每个准则进行评判。
成对比较阵的元素: 元素之间两两对比,采用相对比较尺度。
相对比较尺度aija_{ij} 是由Sasty等人提出1-9尺度aija_{ij}取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9。

定性到定量的转化

尺度aija_{ij} 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ci:CjC_i:C_j的重要性 相同 稍强 强 明显强 绝对强 …

如果因素Ci与Cj对目标影响相同,则尺度定义为1。

准则层对目标层的成对比较阵

利用相对比较尺度aija_{ij},比较各准则C1,C2,...,CnC_1,C_2,...,C_n对目标的重要性Ci:Cj=>aijC_i:C_j=>a_{ij}。设矩阵A=(aij)mn,aij>0,aji=1aijA = (a_{ij})_{m*n},a_{ij}>0,a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}}。在这个例子里,A是5x5矩阵。

同理可得方案层对准则层各因素的成对比较阵。3x3矩阵。

层次分析法求解步骤

数学表达式

  1. 第2层对第1层的权重向量为:
    w(2)=(w1(2),,wn(2))Tw^{(2)}=\left(w_{1}^{(2)}, \cdots, w_{n}^{(2)}\right)^{T}
  2. 第3层对第2层的权重向量为:
    wk(3)=(wk1(0),,wkm(3))T,k=1,2,,nw_{k}^{(3)}=\left(w_{k 1}^{(0)}, \cdots, w_{k m}^{(3)}\right)^{T}, k=1,2, \cdots, n
    构造矩阵W(3)=[w1(3),,wn(3)]W^{(3)}=\left[w_{1}^{(3)}, \cdots, w_{n}^{(3)}\right]
    则第3层对底1层的组合权向量w(3)=W(3)w(2)w^{(3)}=W^{(3)} w^{(2)}
  3. 第s层对第1层的权重向量为:
    w(s)=W(s)W(s1)W(3)w(2)w^{(s)}=W^{(s)} W^{(s-1)} \cdots W^{(3)} w^{(2)}
    其中W(p)W^{(p)}是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵。

计算权向量并作一致性检验

对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量,作一致性检验,若通过,则特征向量为权重向量。
成对比较阵完全一致的情况:
元素满足aijajk=aik,i,j,k=1,2,,na_{i j} \cdot a_{j k}=a_{i k}, \quad i, j, k=1,2, \cdots, n的正反阵A称一致阵。
一致阵性质:
① A的秩为1,A的唯一非零特征根为n;
② A的任一列向量是对应于n的特征向量;
③ A的归一化特征向量可作为权向量。
成对比较阵不一致的情况:
对于实际问题中不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A,我们可用对应于最大特征根λ\lambda的特征向量作为权向量wwAw=λwAw = \lambda w

组合权向量(作组合一致性检验)

将多层的权向量组合可作为决策的定量依据。

一致性检验

已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n;
结论:n阶正互反阵最大特征根λn\lambda \geq n,且λ=n\lambda = n时为一致阵
一致性指标:CI=λnn1CI = \frac{\lambda -n}{n-1},CI越大,不一致越严重。
由于CI的大小受到矩阵规模的影响,所以加入了随机一致性指标RI,随机模拟得到aija_{ij}形成A,多次计算CI得到RI来修正。

n 1 2 3 4 5
RI 0 0 0.58 0.90 1.12

定义一致性比率:
CR=CI/RICR = CI/RI
当CR<0.1时,通过一致性检验。

示例

**组合权向量:**第三层对第二层的计算结果

kk 1 2 3 4 5
wk(3)w_k^{(3)} 0.595
0.277
0.129
0.082
0.236
0.682
0.429
0.429
0.142
0.633
0.193
0.175
0.166
0.166
0.668
λk\lambda_k 3.005 3.002 3.0 3.009 3.0
CIkCI_k 0.003 0.001 0.0 0.005 0.0

其中第二层对第一层的计算结果为w(2):(0.2630.4750.0550.0900.110)w^{(2)} : (0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)
RI=0.58(n=3),CIkRI=0.58(n=3),得CI_k均可通过一致性检验。
方案P1P_1对目标的组合权重为0.595x0.263+…=0.300
方案层对目标的组合权重向量为(0.3000.2460.456)T(0.300,0.246,0.456)^T
可以得到第三个方案最优。

参考自华中农业大学数学建模课程

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