【故障预测】隐马尔可夫模型HMM

前言
现代设备维修和管理方式要求需要有效地避免设备意外故障停机和定期维修所造成地欠修和过修的问题，降低维修和管理费用。

HMM的优势
HMM适用于动态过程时间序列建模并具有强大的时序模式分类能力，特别使用于非平稳、重复再现性不佳的信号分析。

定义HMM的描述参数
HMM定义为$\lambda = (N,M,\pi,A,B)$

**N：**模型中马尔可夫链的状态数目$[s_1,s_2,...,s_N]$。如果记t时刻Markov链所处的状态$q_t$，那么$q_t \in (s_1,s_2,...,s_N)$。

**M：**每个状态可能输出的观测符号数目$[\theta_1,\theta_2,...,\theta_M]$。如果记t时刻Markov链所处的观测值维$O_t$，那么$O_t \in (\theta_1,\theta_2,...,\theta_M)$。

**$\pi$：**初始状态概率分布矢量，$\pi = (\pi_1,\pi_2,...,\pi_N)$。某一时刻处于某一状态的概率。$\pi = P(q_t=s_i),1 \leq i \leq N $。

**A：**状态转移概率矩阵。$A=\{ a_{ij} \}_{NN}$ 。$a_ij = P(q_{t+1}=s_j,q_t = s_i);1\leq i,j\leq N$表示两个状态之间的转移概率。

**B：**观测符号概率分布，$B = \{ b_j(k)\}_{NM}$。其中：$b_j(k) = P(O_t=V_k \mid q_i = s_j)$。对于连续HMM，B是一组观察值概率函数，即$B = \{b_j(X),j=1,2,...,N \}$。

设备剩余寿命公式

$L_{RU} = a_{ii}u(h_i) + u(h_{i+1}) + ... +u(h_N) = a_{ii}u(h_i) + \sum^N_{t=i+1}u(h_t)$

其中$u(h_i),\theta^2(h_i)$分别表示状态驻留时间的均值和方差。$a_{ii}$从最终的状态转移矩阵中得到，表示下一状态还是此态的转移概率。

假设每个状态驻留时间的密度函数$h_t$服从Gauss分布，状态转移矩阵由最大化$logP(s \lambda,T) = \sum^N_{i=1}logP(d_n,h_i)$得到。其中设备寿命$T = \sum^N_{i=1}D(h_i)$，$D(h_i)$为每个状态的驻留时间。
$D(h_i) = u(h_i) + \rho \sigma^2(h_i) $$\rho = (T-\sum^N_{i=1}u(h_i)) / \sum^N_{i=1}\rho2(h_i)$其中，$u(h_i),\rho^2(h_i)$分布表示驻留时间的均值和方差，由训练得到。

问题：
最大化函数需要写细节。目前从本论文中无法得出。

文献：基于HMM的设备故障预测方法研究 康建设，马伦，李望伟，赵强