简介: 在总体分布任意的情形下,检验配对的试验数据所在总体的分布位置有无显著差异,往往可以利用符号检验的方法实现。但是符号检验只考虑差数的正负号,而不考虑差数的绝对值差异,会导致部分试验信息损失,结果较为粗略。为了避免符号检验方法的这一缺陷,Wilcoxon提出了一种改进方法,称为Wilcoxon秩和检验(rank sum test)。这种方法同时考虑了差异的方向和差异的大小,较之符号检验更为有效。而对于成组的试验数据所在总体的分布位置有无差异,也可以采用类似的方法进行检验。秩和检验(rank sum test)又称顺序和检验,它是一种非参数检验(nonparametric test)。非参数检验不依赖于总体分布的具体形式,应用时可以不考虑被研究对象为何种分布以及分布是否以知,因而实用性较强。
假设中的等价问题
设有两个连续型总体, 它们的概率密度函数分别为:,已知,a为未知常数,要检验的各假设为:
设两个总体的均值分别为,由于差了一个平移,所以。此时上述各假设分别等价于:
秩的定义
设X为一总体,将容量为n的样本观察值的绝对值按自小到大的次序编号排列成,称的下标i为的秩,i = 1,2,…,n。
例如: 某旅行团人员的行李重量数据如下:
重量(kg) 34 39 41 28 33
写出重量33的秩。
因为28<33<34<39<41,故33的秩为2。
特殊情况:
如果在排列大小时出现了相同大小的观察值, 则其秩的定义为足标的平均值。
例如: 抽得的样本观察值按次序排成0,1,1,1,2,3,3,
则3个1的秩均为(2+3+4)/3=3.两个3的秩均为(6+7)/2=6.5.
秩和的定义
现设1,2两总体分别抽取容量为n1,n2的样本,且设两样本独立。这里总假定 n1<>n2。
我们将这n1 + n2个观察值放在一起,按自小到大的次序排列,求出每个观察值的秩,然后将属于第1个总体的样本观察值的秩相加,其和记为R1,称为第1样本的秩和,其余观察值的秩的总和记作R2,称为第2样本的秩和。
显然,R1和R2是离散型随机变量,且有R1+R2=( (n1+n2)(n1+n2+1) )/2.
秩和检验法的定义
秩和检验是一种非参数检验法, 它是一种用样本秩来代替样本值的检验法。
用秩和检验可以检验两个总体的分布函数是否相等的问题
秩和检验的适用范围
如果两个样本来自两个独立的但非正态或形态不清的两总体,要检验两样本之间的差异是否显著,不应运用参数检验中的T检验,而需采用秩和检验。
秩和检验的方法
两个样本的容量均小于10的检验方法
检验的具体步骤:
第一步:将两个样本数据混合并由小到大进行等级排列(最小的数据秩次编为1,最大的数据秩次编为n1 + n2)。
第二步:把容量较小的样本中各数据的等级相加,即秩和,用T表示。
第三步:把T值与秩和检验表中某α显著性水平下的临界值相比较,如果T1 < T < T2,则两样本差异不显著;如果T<>T1或T>=T2, 则表明两样本差异显著。
例: 某年级随机抽取6名男生和8名女生的英语考试成绩如表1所示。问该年级男女生的英语成绩是否存在显著差异?
男 | 92 78 94 88 76 87 |
---|---|
女 | 69 52 86 80 47 63 76 82 |
男秩次 | 13 7 14 12 5.5 11 |
女秩次 | 4 2 10 8 1 3 5. 5 9 |
-
建立假设:
H0:男女生的英语成绩不存在显著差异;
H1:男女生的英语成绩存在显著差异。
-
编排秩次,求最小样本的秩和,本数据中是男秩次:
T = 13 + 7 + 14 + 12 + 5.5 + 11= 62.5
-
统计推断:根据n1 = 6,n2 = 8,α = 0.05, 查秩和检验表,T的上、下限分别为T1 = 29,T2 = 61,有T > T2,结论是:男女生的英语成绩存在显著差异。
两个样本的容量均大于10的检验方法
当两个样本容量都大于10时,秩和T的分布接近于正态分布,因此可以用Z检验,其基本公式为:
**例:**某校演讲比赛后随即抽出两组学生的比赛成绩如表2,问两组成绩是否有显著差异?
列一 | 成绩 |
---|---|
一组 | 74 68 86 90 75 78 81 72 64 76 79 77 |
二组 | 80 77 69 86 76 91 66 73 65 78 81 82 92 93 |
一组秩次 | 8 4 21.5 23 9 14.5 18.5 6 1 10.5 16 12.5 |
二组秩次 | 17 12.5 5 21.5 10.5 24 3 7 2 14.5 18.5 20 25 26 |
解: 检验步骤:
-
建立假设:
H0:两组成绩不存在显著差异;
H1:两组成绩存在显著差异。
-
编排秩次,求秩和:
n1 = 12, n2 = 14, T = 144.5,代入公式,有:
$ Z=\frac{T-\frac{n_{1} \left(n_{1}+n_{2}+1 \right)}{2}} {\sqrt{\frac{n_{1} \times n_{2} \left(n_{1}+n_{2}+1\right)}{12}}}=\frac{144.5-\frac{12(12+14+1)}{2}}{\sqrt{\frac{12 \times 14(12+14+1)}{12}}}=\frac{144.5-162}{19.44}=-0.90 $
-
统计推断:
因为|Z|<1.96,则应保留虚无假设,拒绝备择假设。
结论是:两组的演讲比赛成绩不存在显著差异。