似然函数介绍

**概述：**统计学中，似然函数是一种关于统计模型参数的函数。当给定输出$x$时，关于参数$\theta$的似然函数$L(\theta | x)$似然值等于给定参数$\theta$后变量$x$的发生概率$L(\theta | x)=P(X=x | \theta)$。

实列：一枚正反对称值的硬币，做上抛一次正面朝上的概率为0.5，那么上抛三次都为正面的概率P为$0.5 * 0.5 * 0.5=0.125$。但是，如果已知上抛十次硬币，且有七次为正面，三次为反面，则这枚硬币的对称值L(正面朝上的极大似然值)为0.7。如果上抛无穷次都为正面朝上的话，那么正面朝上的极大似然值就为1，表示接下来抛硬币正面朝上的概率为1。

**求解：**对上述例子进行求解最大似然值。
上述抛十次硬币的例子转为公式:$P(A)=p^{7} *(1-p)^{3}$
对该式子取对数可得:

$\ln (P(A))=\ln \left(p^{7} *(1-p)^{3}\right)=7 \ln (p)+3 \ln (1-p)$

令$ \ln ^{\prime}(P(A))=0$可得$\frac{7}{p}+\frac{3}{p-1}=0 $，求解得p=0.7。表示这种事件的最大概率为0.7。

公式解说：

假设样本集$D=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right\}$中的样本都是独立分布，似然函数为：$l(\theta)=p(D | \theta)=p\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N} | \theta\right)=\prod_{i=1}^{N} p\left(x_{i} | \theta\right)$，求使似然函数$l(\theta)$最大的$\theta$。