样本方差为何除以n-1

**1.**设样本均值为$\overline{X}$，样本方差为$S^2$，总体均值为$\mu$，总体方差为$\sigma^{2}$，那么样本方差$S^2$的公式为：$S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{X}\right)^{2}$

2.知识补充

（1）为何样本均值的方差等于总体方差除以总体单位数？

答：设X为随机变量，X1,X2,…,Xn为其n个样本，D(X)为方差。根据方差的性质，有$D(X+Y)=D X+D Y$，以及$D(k X)=k^{2} * D(X)$，其中X和Y相互独立，k为常数。于是有$D\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}\right)=D\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{n}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{n} D\left(X_{i}\right)}{n^{2}}=\frac{1}{n} D(X)$

3.公式证明

假设样本方差的公式为:$S_{1}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}$有：

$E\left(S_{1}^{2}\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E\left(\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right)=\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu+\mu-\overline{X}\right)^{2}\right)$
$=\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-2\left(X_{i}-\mu\right)(\overline{X}-\mu)+(\overline{X}-\mu)^{2}\right)\right)$
$=\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-2 \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)(\overline{X}-\mu)+n(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$
$=\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-n(\overline{X}-\mu)(\overline{X}-\mu)+n(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$
$=\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-n E(\overline{X}-\mu)(\overline{X}-\mu)+n(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$
$=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-n E(\overline{X}-\mu)(\overline{X}-\mu)+n(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$
$=\frac{1}{n}(n \operatorname{Var}(X)-n \operatorname{Var}(\overline{X}))$
$=\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(\overline{X})=\sigma^{2}-\frac{\sigma^{2}}{n}=\frac{n-1}{n} \sigma^{2}$

样本方差有偏是因为样本均值相对总体有偏，在这种情况下，样本方差比总体方差小1/n个总体方差，所以分母为n-1即可做到无偏。